高等数学:求(1)函数的单调区间和极值 (2)曲线的凹凸区间及拐点 (3)曲线的渐近线 备注:需要

y = 1/(1+x^2)

y' = -2x/(1+x^2)^2,

y 的单调增加区间是 (-∞, 0)

y 的单调减少区间是 (0, +∞)

极大值 y(0) = 1

y'' = -2(1-3x^2)/(1+x^2)^3

拐点 (-1/√3, 3/4), (1/√3, 3/4)

凹区间 (-∞, -1/√3)∪(1/√3, +∞)

凸区间 (-1/√3, 1/√3)

lim<x→∞>1/(1+x^2) = 0,

则 y = 0， 即 x 轴是水平渐近线。

没有其它渐近线。

f(x)=(x^2-1)e^(-x^2)，这是个偶函数，当x->无穷时趋于零。

f'(x)=2xe^(-x^2)(2-x^2)=0, 解为x=0，-√2或√2。

在x轴的右半部分，x在[0，√2]f'(x)>=0所以f(x)在这个区间单调增，在[√2，正无穷]f'(x)<=0，所以f(x)单调减，考虑到f(x)是偶函数， f(0)=-1是极小值，也是最小值。f(-√2)=f(√2)=e^(-2)是极大值，也是最大值。

简介

极值是变分法的一个基本概念。泛函在容许函数的一定范围内取得的最大值或最小值，分别称为极大值或极小值，统称为极值。使泛函达到极值的变元函数称为极值函数，若它为一元函数，通常称为极值曲线。极值也称为相对极值或局部极值。

极值是“极大值” 和 “极小值”的统称。如果函数在某点的 值大于或等于在该点附近任何其他 点的函数值，则称函数在该点的值 为函数的“极大值”。如果函数在某 点的值小于或等于在该点附近任何 其他点的函数值，则称函数在该点 的值为函数的“极小值”。

极值点和最值点的关系是：在数学中，极值点和最值点是与函数的局部或全局特性相关的概念。

一、极值点：

极值是指函数在某一区间内取得的最大值或最小值。极值点是函数曲线上的点，在该点的邻近范围内，函数值要么是最大值，要么是最小值。

极值点分为两种类型：1极大值点：函数在该点附近的值比该点处的值小，但在邻近范围内没有更小的值。2极小值点：函数在该点附近的值比该点处的值大，但在邻近范围内没有更大的值。

二、最值点：

最值点是函数在整个定义域内取得的最大值或最小值的点。它不仅仅局限于某个区间，而是考虑了整个函数的取值范围。

最值点分为两种类型：1最大值点：函数取得的最大值对应的点。2最小值点：函数取得的最小值对应的点。

极值点和最值点的区别

一、极值点：

1定义范围：极值点是函数在局部范围内取得的最大值或最小值的点。这个范围通常是函数曲线上某个特定区间内。

2特点：一个极值点附近的函数值要么比该点的函数值更大（极小值点），要么比该点的函数值更小（极大值点）。在该点附近的邻近范围内，没有比它更大或更小的函数值。

3数量：一个函数可以有多个极值点，分别对应不同的局部极大值和局部极小值。

二、最值点：

1定义范围：最值点是函数在整个定义域内取得的最大值或最小值的点。这个范围考虑了整个函数的取值范围。

2特点：最大值点对应函数取得的最大值，最小值点对应函数取得的最小值。

3数量：一个函数在其定义域内只有一个全局最大值点和一个全局最小值点（如果存在的话）。

f'(x)=2x-1/x²=(2x³-1)/x²,

增：[(1/2)^(1/3)，+∞)，减(-∞，(1/2)^(1/3)]

极小:(1/2)^(2/3)+2^(1/3)

f''(x)=2+2/x³，令f''(x)=0,得 x=-1

凹：(-1,+∞)，凸：(-∞，-1)

拐点：x=-1，(-1，1)

梁弯矩图中抛物线极值点位置处一定是梁的曲率半径最小处。

梁弯矩图中，抛物线极值点位置处一定是梁的曲率半径最小的位置，即梁的曲率半径达到极小值。这个位置通常就是梁的中点或支承点等位置，这个位置上的抛物线也被称为“反弯曲圆线”，是梁截面在这个位置上所受外力对其产生的弯矩引起的曲率半径为最小值的情况。

在这个位置处，梁的弯矩也处于最大值或最小值，这对于结构设计和抗弯疲劳分析都有着重要的意义。

梁弯矩图功能特征：

梁弯矩图的绘制主要有两个关键点：一是要准确画出曲线的形状，即确定弯矩图的图形特征：二是确定曲线的位置，即在已知曲线的形状、大小之后确定平面曲线的位置，这就要求先确定曲线上任意两点的位置，此处所指两点的位置即指某两个截面处的弯矩值。

梁弯矩图介绍：

1、基本定义。

熟悉单跨梁在各种荷载独立作用下的弯矩图特征：比如悬臂梁在一个集中荷载作用下．其弯矩图的特征是一个直角三角形；悬臂梁在均布荷载作用于全长上时，其弯矩图为一个曲边三角形等。单跨梁在一种荷载作用下的弯矩图。

2、绘制。

根据单跨梁弯矩图的特征和规律．首先绘制附属部分的弯矩图，然后再向基本部分延伸。按照多跨静定梁的传力特点，附属部分与基本部分的连接处所受的集中力只对基本部分有作用。而对附属部分没有影响。换句话说，该集中力完全由基本部分承担。

按照静定结构的组成规律，利用叠加原理能够比较便捷地绘制结构弯矩图。三铰刚架时以假想的直杆代替折杆视为链杆支座，可将结构的某一部分认定为虚拟的单跨梁，该虚拟单跨梁的某一部分具有与原结构完全相同的受力特点和变形特点，由此可以迅速地绘出结构的弯矩图。