高等数学中的反函数怎么求

函数其实是两个数集之间的一种对应关系，而反函数其实就是在原函数的基础上，不改变两个数集间的对应关系，只是改变对应双方的位置：原来是

x1→y1、x2→y2……现在是

y1→x1、y2→x2……

前者就是原函数，后者就是反函数——这是函数的一种表述方法：列举法。可见，反函数的

“定义域”

和

“值域”

与原函数进行了调换。

可以想到，不是所有函数都有原函数的。函数允许

“多对一”

的关系出现，但不允许

“一对多”。所以，所有具有反函数的函数，都是

“一一对应”

的关系。可以简单地理解为函数的

“定义域”

和

“值域”

中的元素个数相等，恰好能一一配对。

假设函数

y

=

f(x)

（该函数的标准记法是：f:x→y）具有反函数：ψ:y→x。那么，f

的函数图象

f

和

ψ

的函数图象

w

必然满足以下关系：点(x，y)在f上，当且仅当点(y，x)必然在

w

上。

显然，这两个点是关于直线

y

=

x

对称的。当对于

f

上的所有点，都可以在

w

上找到轴对称点时，f

和

w

本身就是轴对称的了，而事实正是如此。

最后——轴对称的两个图象，必然“一致”。

反函数和复合函数是微积分中的两个重要概念。首先，我们来看反函数。反函数是指对于一个函数 f(x)，如果存在一个函数 g(x)，使得对于所有的 x，有 g(f(x))=x 和 f(g(x))=x，那么 g(x) 就是 f(x) 的反函数。求反函数的方法是将 f(x) 中的 x 和 y 互换，然后解方程得到 g(x)。当然，并不是所有的函数都有反函数。

接下来，我们来看复合函数。复合函数是指将一个函数作为另一个函数的输入。例如，如果有一个函数 f(x) 和一个函数 g(x)，那么 f(g(x)) 就是一个复合函数。在求复合函数时，需要注意函数的定义域和值域是否匹配。

那么，如何求复合函数的反函数呢？一般来说，这需要运用到一些特殊的技巧。首先，我们需要将复合函数写成一种更简单的形式，例如可以将 f(g(x)) 写成 h(x)。然后，我们需要找到 h(x) 的反函数 g(x)，这样就可以得到 f(x) 的反函数了。

总的来说，求反函数和复合函数的反函数是微积分中的重要内容。在实际应用中，这些概念可以帮助我们更好地理解函数的性质和特点，从而更好地应用它们解决实际问题。

一般地，设函数y=f(x)(x∈A)的值域是C，根据这个函数中x,y 的关系，用y把x表示出，得到x= g(y) 若对于y在C中的任何一个值，通过x= g(y)，x在A中都有唯一的值和它对应，那么，x= g(y)就表示y是自变量，x是因变量是y的函数，这样的函数y= g(x)(x∈C)叫做函数y=f(x)(x∈A)的反函数，记作y=f^(-1) (x) 反函数y=f^(-1) (x)的定义域、值域分别是函数y=f(x)的值域、定义域。

示例：求y=2x的反函数

用y把x表示出，得到x= g(y)即x=1/2y，再将x和y互换位置得到y= g(x)，即y=1/2x，就是所求的反函数。

扩展资料

在求解反函数时，需要特别注意反函数的定义域值域与原函数的定义域值域是相反的。

此外，在求解之前可以关注函数的奇偶性，大部分偶函数不存在反函数（当函数y=f(x)， 定义域是{0} 且 f(x)=C （其中C是常数），则函数f(x)是偶函数且有反函数，其反函数的定义域是{C}，值域为{0} ）。奇函数不一定存在反函数，被与y轴垂直的直线截时能过2个及以上点即没有反函数。

参考资料-反函数

反函数就是从函数y=f(x)中解出x，用y表示 ：x=φ(y),如果对于y的每一个值，x都有唯一的值和它对应，那么x=φ(y)就是y=f(x)的反函数，习惯上，用x表示自变量，所以x=φ(y)通常写成y=φ(y) (即对换x,y的位置)。

求一个函数的反函数：

1、从原函数式子中解出　x　用　y　表示；

2、对换 x,y ；

3、标明反函数的定义域

注：反函数里的x是原函数里的y，原函数中，y≥0，所以反函数里的x≥0。在原函数和反函数中，由于交换了x、y的位置，所以原函数的定义域是反函数的值域，原函数的值域是反函数的定义域。

扩展资料：

反函数存在定理：

定理：严格单调函数必定有严格单调的反函数，并且二者单调性相同。

在证明这个定理之前先介绍函数的严格单调性。

设y=f(x)的定义域为D，值域为f(D)。如果对D中任意两点x1和x2，当x1<x2时，有y1<y2，则称y=f(x)在D上严格单调递增；当x1<x2时，有y1>y2，则称y=f(x)在D上严格单调递减。

证明：设f在D上严格单增，对任一y∈f(D)，有x∈D使f(x)=y。

而由于f的严格单增性，对D中任一x'<x，都有y'<y；任一x''>x，都有y''>y。总之能使f(x)=y的x只有一个，根据反函数的定义，f存在反函数f-1。

任取f(D)中的两点y1和y2，设y1<y2。而因为f存在反函数f-1，所以有x1=f-1(y1)，x2=f-1(y2)，且x1、x2∈D。

若此时x1≥x2，根据f的严格单增性，有y1≥y2，这和我们假设的y1<y2矛盾。

因此x1<x2，即当y1<y2时，有f-1(y1)<f-1(y2)。这就证明了反函数f-1也是严格单增的。

如果f在D上严格单减，证明类似。

定义域R

2y=e^x-e^-x

令e^x=t (t>0)

则原式变为 2y=t-1/t

t^2-2yt-1=0

求根公式：

t=(2y±√(4y^2+4))/2

=y±√(y^2+1)

因为 t>0

所以 t=y+√(y^2+1)

即 e^x=y+√(y^2+1)

x=ln[y+√(y^2+1)]

反函数 y=ln[x+√(x^2+1)]

求反函数的步骤：

（1）求定义域

（2）从原函数中解出x,

（3）x,y互换

首先看这个函数是不是单调函数，如果不是则反函数不存在。如果是单调函数，则只要把x和y互换，然后解出y即可。例如 y=x^2，x=正负根号y，则f(x)的反函数是正负根号x，求完后注意定义域和值域，反函数的定义域就是原函数的值域，反函数的值域就是原函数的定义域。

求反函数先判断反函数是否存在，严格单调函数必定有严格单调的反函数，并且二者单调性相同，再判断该函数与它的反函数在相应区间上单调性是否一致，例如 求 y=x^2 的反函数。x=±根号y，则 f(x) 的反函数是正负根号 x，求完后注意定义域和值域，反函数的定义域就是原函数的值域，反函数的值域就是原函数的定义域。

反函数的定义是：设函数y=f(x)(x∈A)的值域是C，若找得到一个函数g(y)在每一处g(y)都等于x，这样的函数x= g(y)(y∈C)叫做函数y=f(x)(x∈A)的反函数，大部分偶函数不存在反函数。奇函数不一定存在反函数，被与y轴垂直的直线截时能过2个及以上点即没有反函数。

反函数是对一个给定函数做逆运算的函数，一般来说，设函数y=f(x)(x∈A)的值域是C，若找得到一个函数g(y)在每一处g(y)都等于x，这样的函数x= g(y)(y∈C)叫做函数y=f(x)(x∈A)的反函数，记作y=f^(-1)(x) 。反函数存在的条件为原函数的函数关系必须是一一对应的（不一定是整个数域内的），它的定义域、值域分别是原函数的值域、定义域。

若一个奇函数存在反函数，则它的反函数也是奇函数。因此，在求反函数时要先确定是不是单调函数，如果是就把x和y互换，然后解出y即可。